Uzun yıllar önce hesaplama araçlarının temel hammaddesi günümüzdeki gibi silikon değildi, büyük çoğunlukla pirinç veya benzeri metallerdi. Yani dişliler. Leibnitz'in ve Pascal'ın hesap makineleri de birbirine bağlanmış dişlilerden oluşan sistemlerdi. Sadece hesap makineleri değil, tüm hesaplama araçları (kompüter) dişliler yardımıyla hesap yapıyorlardı. Saatleri de geçen zamanı hesaplayıp bildiren hesaplama araçları olarak kabul edebiliriz, onlar da dişlileri kullanıyorlardı. Hesaplama araçlarında dişlilerin kullanımı aslında milattan önce Birinci Yüzyıla dayanıyor. M.Ö. birinci yyda yapılan Antikythera Mekanizması denilen alet, dişlileri kullandığı bilinen en eski kompüterdir, astronomik hesaplamalar yapmak için tasarlanmıştır. Bu mekanizmanın sadece kalıntıları günümüze ulaşabilmiştir. 1901 yılında bulunan bu kalıntıları aşağıdaki resimde görebilirsiniz. Fakat bu kompüterin çalışan modelleri (rebuilt) daha sonradan çok kez yapılmıştır. Aşağıda buna da bir örnek resim var.
Şimdi gelelim saat mekanizmalarındaki dişlilere. Saat mekanizmalarının çalışma prensipleri daha önce forumda tartışıldı, bilindiği üzere saat mekanizması, zemberekte birikmiş olan kuvveti kullanarak saniye kolunu dakikada tam bir tur döndürür. Bu kuvveti saniye koluna dişliler vasıtasıyla iletir. Daha da önemlisi, dakika ve saat kolları saniye koluna nazaran daha yavaş dönmelidir, bu yavaşlatma olayı farklı diş sayısına sahip dişlilerden oluşan dişli sistemi (dişli treni, dişli dizisi) tarafından yapılır. Bu yazımda daha çok bu yavaşlatma işine değineceğim.
Yukarıdaki resimde gördüğünüz basit sistemi ele alalım. Yeşil dişlinin 20, mavi dişlinin 60 dişi olduğunu varsayalım. Dolayısıyla yeşil dişli bir tam tur dönünce mavi dişli 20/60 = 1/3 tur döner. Yani mavi çarkın bir tur dönmesi için yeşil çarkın 3 tur dönmesi gerekir. Bu sistemin hız oranı 1/3 tür. Dişlilerden oluşan bir sistemin hız oranı derken, ilk dişlinin dönmesi ile son dişlinin dönmesinin oranından bahsediyorum, yazının devamında da bu terminolojiyi kullanacağım, giriş hızı/çıkış hızı Şimdi yeşil dişlinin saniye, mavi dişlinin de dakika olduğunu düşünelim. Yeşil 60 tur döndüğünde mavinin bir tur dönmesini istiyoruz demek bu. Bunun için de hız oranı 1/60 olmalı, yani mavinin diş sayısı, yeşilin diş sayısının 60 katı olmalı. Mavi çarkın da saati gösteren daha büyük bir başka çarka bağlandığını düşünürsek, o çarkın da mavinin diş sayısının 60 katı dişe sahip olduğunu düşünürsek, bu sistemin bir saat mekanizması için biraz hantal olduğu açıktır. Bundan dolayı aşağıdaki gibi bir sistem kullanacağız.
Böyle bir sistemin hız oranı (Yeşil diş sayısı / Mavi diş sayısı) x (kırmızı diş sayısı / gri diş sayısı) ile, yani yeşil-mavi ve kırmızı-gri sistemlerinin hı oranlarının çarpımıyla hesaplanır. Bunu kendiniz görebilirsiniz kolayca. Yukarıdaki sistemde yeşil 10, mavi 60, kırmızı 10, gri 100 diş sayısına sahip olsun. Bu durumda hız oranı
(10/60) x (10/100) = 1/60
elde ederiz. Yani saniye ve dakikayı gösterebilecek bir sistem elde ettik, ve yeşil çarkın 60 katı büyük çarklar kullanmamıza da gerek kalmadı, daha küçük çarklarla bu işi başardık. Benzer şekilde saniye çarkından yola çıkarak 12 saatte bir defa dönen bir çark, yani saat göstergesi çarkını elde etmek istiyoruz mesela. Böyle bir sistemin hız oranı 1/720 olacak. İlk verdiğim örnekteki iki çarklı sistemi kullanacak olursak büyük dişli, küçük dişlinin 720 katı büyüklükte olacaktı. Ama 1/720 = 1/8 x 1/9 x 1/10
olduğundan, ikinci örnekteki sisteme bir kademe daha dişli ekleyerek 3 çift çarktan oluşan bir sistemle bunu çok daha küçük çarklarla elde edebiliriz.Dakika saat tamam da, daha ileriye gidince değişik bir durum ortaya çıkıyor. 18. Yüzyılda ünlü Course de Mathematique kitabının yazarı Charles-Étienne-Louis Camus şöyle bir problemler uğraşmış. Saat çarkından yola çıkarak yılda bir tur dönen çarka nasıl ulaşılabilir? Yani 12 saatte bir tur dönen çarktan 365 gün 5 saat 49 dakikada bir tur dönen çarka ulaşan bir sistem kurmamız gerekiyor. Küçük bir hesaplamayla aradığımız hız oranının
720/525,949
olduğunu görürüz. İki çarklı sistemle buna kalkışırsak küçük çark 720 dişli ise büyük çarkta 525,949 diş olması gerekir, ki bu da bir saat mekanizması için imkansızdır. Dolayısıyla ikinci sistemdeki yapıda, az sayıda dişi olan daha fazla çark ile bu sistemi kurmamız lazım. Tek yapmamız gereken şey çarpımları 720/525,949 olan rasyonel sayılar bulmak. Hemen 525,949 sayısını asal çarpanlarına ayıralım. 2 ile bölünmez, 3 yok 5 yok 7 yok 11 yok... WTF!! 13 yok, 17 yok, 19 yok, 23 yok. Yoksa???- Kod: Tümünü seç
isprime(525949);
True
Evet, bu baş belası lanet olası bir asal sayı.
Dolayısıyla böyle bir sistemi kurmanın en ekonomik yolu birinde 720 diğerinde 525,949 tane diş olan iki çarkı birbirine bağlamak. Daha fazla çark kullanarak diş sayısı daha küçük olan dişlilerle bunu yapamıyoruz. Ama komplikasyonumuzda buna ihtiyacımız var, bu kadar büyük dişlileri de saat içine koyamayacağız, o zaman? O zaman ihmal edilebilir bir hata payı ile çalışan bir sistem kuracağız, yani 720/525,949 oranına çok yakın ve payı paydası asal olmayan bir oranı ele alıp, o oranda bir sistem kuracağız. Hata payımız gerçekten ihmal edilebilir derecede küçük ise işlem tamamdır. Bazı saatlerin ay fazları üç bin yılda bir gün felan hata veriyor, ya da IWC Potuguese Perpetual modeldeki ay fazı mekanizması 577,5 yılda bir gün hata veriyor, onun gibi.
720/525,949 sayısına çok yakın ve çarpanlara ayrılabilir bir sayı arıyoruz, ayrıca bu oranla çalışan sistemin hata payının da çok küçük olmasını istiyoruz. Peki böyle bir oranı nasıl tespit edeceğiz?
Bu yazıyı yazmaya başladığımda bu oranları nasıl tespit edebileceğimizi de anlatacaktım, fazla matematik de yoktu sadece dört işlem. Ama şimdi bakıyorum da yazı uzayacak, çok detaya girmesem daha hayırlı olacak diye düşünüyorum
İlgilenenler Google ile kolayca bulabilir, Stern-Brocot tree denilen bir sayı ağacı (sayı sistemi) var, Pascal üçgeni gibi düşünün. Matematikte sayılar teorisi alanında bir başlık. Alman matematikçi Moritz Abraham Stern ve Fransız Saat ustası Achille Brocot tarafından, birbirlerinden bağımsız olarak keşfedilmiş. Bu sayı ağacı kullanılarak istenilen bir rasyonel sayıya, küçük çarpanları olan (smooth) rasyonellerin çarpımı ile yaklaşılabiliyor. İşte bu yöntemle 720/525,949 sayısına yaklaşık, hem de küçük çarpanlı kesirler bulunabiliyor. İstediğiniz hata payına göre bir kesir bulunabilir.
Örneğin: 720/525,949 sayısı yerine ona çok yaklaşık olan 96/143,175 sayısını kullanabiliriz. Bu sayı çarpanlarına ayrılabilir.
96/143,175= 2/3 x 2/25 x 7/23 x 7/83
dir. Ve bu oranı kullanarsak yılda sadece 1,2 saniye hata yapmış oluruz.
Bu hata çok mu geldi, 174,731/127,638,346 oranını kullanalım.
23/218 x 71/527 x 107/1111 = 174,731/127,638,346
şeklinde çarpanlara ayrılabilir. Ve bu oranla yılda sadece saniyenin iki milyonda biri kadar hata yapmış oluruz.
Bu da fazla ise, Stern-Brocot yöntemi ile daha az hatalı sayılar bulabilirsiniz, ama diş sayıları arttıkça bunu saat mekanizmasına koymak daha zor olur gibi geliyor bana
Sadece yılda bir tur dönen çark için bu kadar tantana kopuyor, bir sürü komplikasyon çeşidi var, kim bilir daha ne detaylar vardır Her saat üç tane dişliden oluşmuyor ya. Mesela Zenith Zero-G
Okuduğunuz için teşekkür ederim.
Selamlar..